Integrali definiti vs indefiniti
Il calcolo è un ramo importante della matematica e la differenziazione gioca un ruolo fondamentale nel calcolo. Il processo inverso della differenziazione è noto come integrazione e l'inverso è noto come integrale, o semplicemente, l'inverso della differenziazione dà un integrale. In base ai risultati che producono gli integrali vengono divisi in due classi; integrali definiti e indefiniti.
Ulteriori informazioni sugli integrali indefiniti
L'integrale indefinito è più una forma generale di integrazione e può essere interpretato come l'anti-derivato della funzione considerata. Supponiamo che la differenziazione di F dia f e l'integrazione di f dia l'integrale. È spesso scritto come F (x) = ∫ƒ (x) dx o F = ∫ƒ dx dove sia F che ƒ sono funzioni di x, e F è derivabile. Nella forma sopra, è chiamato integrale di Reimann e la funzione risultante accompagna una costante arbitraria. Un integrale indefinito spesso produce una famiglia di funzioni; pertanto, l'integrale è indefinito.
Gli integrali e il processo di integrazione sono al centro della risoluzione di equazioni differenziali. Tuttavia, a differenza della differenziazione, l'integrazione non segue sempre una routine chiara e standard; a volte, la soluzione non può essere espressa esplicitamente in termini di funzione elementare. In tal caso, la soluzione analitica è spesso data sotto forma di un integrale indefinito.
Ulteriori informazioni sugli integrali definiti
Gli integrali definiti sono le controparti molto apprezzate degli integrali indefiniti in cui il processo di integrazione produce effettivamente un numero finito. Può essere graficamente definita come l'area delimitata dalla curva della funzione ƒ all'interno di un dato intervallo. Ogni volta che l'integrazione viene eseguita entro un dato intervallo della variabile indipendente, l'integrazione produce un valore definito che viene spesso scritto come a ∫ b ƒ (x) dx o a ∫ b ƒdx.
Gli integrali indefiniti e gli integrali definiti sono interconnessi tramite il primo teorema fondamentale del calcolo, e che permette di calcolare l'integrale definito utilizzando gli integrali indefiniti. Il teorema afferma a ∫ b ƒ (x) dx = F (b) -F (a) dove sia F che ƒ sono funzioni di x, e F è derivabile nell'intervallo (a, b). Considerando l'intervallo, aeb sono noti rispettivamente come limite inferiore e limite superiore.
Invece di fermarsi solo con funzioni reali, l'integrazione può essere estesa a funzioni complesse e quegli integrali sono chiamati integrali di contorno, dove ƒ è una funzione della variabile complessa.
Qual è la differenza tra integrali definiti e indefiniti?
Gli integrali indefiniti rappresentano l'anti-derivato di una funzione e, spesso, una famiglia di funzioni piuttosto che una soluzione definita. In integrali definiti, l'integrazione fornisce un numero finito.
Gli integrali indefiniti associano una variabile arbitraria (da qui la famiglia di funzioni) e gli integrali definiti non hanno una costante arbitraria, ma un limite superiore e un limite inferiore di integrazione.
L'integrale indefinito di solito fornisce una soluzione generale all'equazione differenziale.
