Eventi mutuamente esclusivi vs eventi indipendenti
Le persone spesso confondono il concetto di eventi che si escludono a vicenda con eventi indipendenti. In realtà, queste sono due cose diverse.
Siano A e B due eventi qualsiasi associati a un esperimento casuale E. P (A) è chiamato "Probabilità di A". Allo stesso modo, possiamo definire la probabilità di B come P (B), la probabilità di A o B come P (A∪B) e la probabilità di A e B come P (A∩B). Quindi, P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Tuttavia, due eventi si dice che si escludono a vicenda se il verificarsi di un evento non influisce sull'altro. In altre parole, non possono verificarsi contemporaneamente. Pertanto, se due eventi A e B si escludono a vicenda allora A∩B = ∅ e quindi, ciò implica P (A∪B) = P (A) + P (B).
Siano A e B due eventi in uno spazio campionario S. La probabilità condizionata di A, dato che B si è verificato, è denotata con P (A | B) ed è definita come; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), purché P (B)> 0. (altrimenti, non è definito.)
Si dice che un evento A sia indipendente da un evento B, se la probabilità che A si verifichi non è influenzata dal fatto che B si sia verificato o meno. In altre parole, l'esito dell'evento B non ha effetto sull'esito dell'evento A. Pertanto, P (A | B) = P (A). Allo stesso modo, B è indipendente da A se P (B) = P (B | A). Quindi, possiamo concludere che se A e B sono eventi indipendenti, allora P (A∩B) = P (A). P (B)
Supponiamo che venga lanciato un cubo numerato e che venga lanciata una moneta equa. Sia A l'evento che ottiene una testa e B l'evento che ottiene un numero pari. Quindi possiamo concludere che gli eventi A e B sono indipendenti, perché il risultato di uno non influenza il risultato dell'altro. Pertanto, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Poiché P (A∩B) ≠ 0, A e B non possono escludersi a vicenda.
Supponiamo che un'urna contenga 7 biglie bianche e 8 biglie nere. Definisci l'evento A come disegnare una biglia bianca e l'evento B come disegnare una biglia nera. Supponendo che ogni biglia venga sostituita dopo aver annotato il suo colore, allora P (A) e P (B) saranno sempre gli stessi, non importa quante volte estraiamo dall'urna. Sostituire le biglie significa che le probabilità non cambiano da estrazione a estrazione, indipendentemente dal colore che abbiamo scelto nell'ultima estrazione. Pertanto, gli eventi A e B sono indipendenti.
Tuttavia, se le biglie sono state disegnate senza sostituzione, tutto cambia. In questa ipotesi, gli eventi A e B non sono indipendenti. Disegnare una biglia bianca la prima volta cambia le probabilità di disegnare una biglia nera alla seconda estrazione e così via. In altre parole, ogni estrazione ha effetto sull'estrazione successiva, quindi le estrazioni individuali non sono indipendenti.
Differenza tra eventi mutuamente esclusivi e indipendenti
- L'esclusività reciproca degli eventi significa che non c'è sovrapposizione tra gli insiemi A e B. L'indipendenza degli eventi significa che il verificarsi di A non influisce sull'accadimento di B.
- Se due eventi A e B si escludono a vicenda, allora P (A∩B) = 0.
- Se due eventi A e B sono indipendenti, allora P (A∩B) = P (A). P (B)
