Sottoinsiemi e sottoinsiemi appropriati
È abbastanza naturale realizzare il mondo attraverso la categorizzazione delle cose in gruppi. Questa è la base del concetto matematico chiamato "Teoria degli insiemi". La teoria degli insiemi fu sviluppata alla fine del diciannovesimo secolo e ora è onnipresente in matematica. Quasi tutta la matematica può essere derivata utilizzando la teoria degli insiemi come base. L'applicazione della teoria degli insiemi spazia dalla matematica astratta a tutte le materie del mondo fisico tangibile.
Sottoinsieme e Sottoinsieme proprio sono due terminologie spesso utilizzate nella Teoria degli insiemi per introdurre relazioni tra gli insiemi.
Se ogni elemento in un insieme A è anche un membro di un insieme B, allora l'insieme A è chiamato un sottoinsieme di B. Anche questo può essere letto come "A è contenuto in B". Più formalmente, A è un sottoinsieme di B, indicato con A⊆B se, x∈A implica x∈B.
Ogni insieme stesso è un sottoinsieme dello stesso insieme, perché, ovviamente, qualsiasi elemento che è in un insieme sarà anche nello stesso insieme. Diciamo "A è un sottoinsieme proprio di B" se, A è un sottoinsieme di B ma, A non è uguale a B. Per denotare che A è un sottoinsieme proprio di B usiamo la notazione A⊂B. Ad esempio, l'insieme {1,2} ha 4 sottoinsiemi, ma solo 3 sottoinsiemi appropriati. Perché {1,2} è un sottoinsieme ma non un sottoinsieme appropriato di {1,2}.
Se un insieme è un sottoinsieme appropriato di un altro insieme, è sempre un sottoinsieme di quell'insieme, (cioè se A è un sottoinsieme appropriato di B, implica che A è un sottoinsieme di B). Ma possono esserci sottoinsiemi, che non sono sottoinsiemi appropriati del loro superserie. Se due insiemi sono uguali, allora sono sottoinsiemi l'uno dell'altro, ma non proprio sottoinsiemi l'uno dell'altro.
In breve:
- Se A è un sottoinsieme di B, A e B possono essere uguali.
- Se A è un sottoinsieme proprio di B, A non può essere uguale a B.
