Equazione differenza vs equazione differenziale
Un fenomeno naturale può essere descritto matematicamente dalle funzioni di un numero di variabili e parametri indipendenti. Soprattutto quando sono espresse da una funzione della posizione spaziale e del tempo, si ottengono equazioni. La funzione può cambiare al variare delle variabili indipendenti o dei parametri. Un cambiamento infinitesimale che si verifica nella funzione quando viene modificata una delle sue variabili è chiamato derivato di quella funzione.
Un'equazione differenziale è qualsiasi equazione che contiene le derivate di una funzione oltre alla funzione stessa. Una semplice equazione differenziale è quella della seconda legge del moto di Newton. Se un oggetto di massa m si muove con un'accelerazione "a" e viene agito con la forza F, la seconda legge di Newton ci dice che F = ma. Anche in questo caso, "a" varia con il tempo, possiamo riscrivere "a" come; a = dv / dt; v è la velocità. La velocità è funzione dello spazio e del tempo, cioè v = ds / dt; quindi 'a' = d 2 s / dt 2.
Tenendo a mente questi possiamo riscrivere la seconda legge di Newton come un'equazione differenziale;
'F' in funzione di ve t - F (v, t) = mdv / dt, o
'F' in funzione di se t - F (s, ds / dt, t) = md 2 s / dt 2
Esistono due tipi di equazioni differenziali; equazione differenziale ordinaria, abbreviata con ODE o equazione differenziale parziale, abbreviata con PDE. L'equazione differenziale ordinaria conterrà derivati ordinari (derivati di una sola variabile). L'equazione differenziale parziale avrà derivate differenziali (derivate di più di una variabile) in essa.
es. F = md 2 s / dt 2 è una ODE, mentre α 2 d 2 u / dx 2 = du / dt è una PDE, ha derivate di t e x.
L'equazione della differenza è la stessa dell'equazione differenziale, ma la guardiamo in un contesto diverso. Nelle equazioni differenziali, la variabile indipendente come il tempo è considerata nel contesto del sistema temporale continuo. Nel sistema del tempo discreto, chiamiamo la funzione come equazione alle differenze.
L'equazione della differenza è una funzione delle differenze. Le differenze nelle variabili indipendenti sono di tre tipi; sequenza di numeri, sistema dinamico discreto e funzione iterata.
Nella sequenza di numeri, la modifica viene generata ricorsivamente utilizzando una regola per mettere in relazione ogni numero nella sequenza con i numeri precedenti nella sequenza.
L'equazione della differenza in un sistema dinamico discreto accetta un segnale di ingresso discreto e produce un segnale di uscita.
L'equazione della differenza è una mappa iterata per una funzione iterata. Ad esempio, y 0, f (y 0), f (f (y 0)), f (f (f (y 0))),….è la sequenza di una funzione iterata. La f (y 0) è la prima iterazione di y 0. La k-esima iterazione sarà indicata con f k (y 0).
