Riemann Integral vs Lebesgue Integral
L'integrazione è un argomento principale nel calcolo. In un certo senso, l'integrazione può essere vista come il processo inverso di differenziazione. Quando si modellano problemi del mondo reale, è facile scrivere espressioni che coinvolgono derivati. In una tale situazione, l'operazione di integrazione è richiesta per trovare la funzione che ha dato la derivata particolare.
Da un altro punto di vista, l'integrazione è un processo che somma il prodotto di una funzione ƒ (x) e δx, dove δx tende ad essere un certo limite. Questo è il motivo per cui usiamo il simbolo di integrazione come ∫. Il simbolo ∫ è infatti ciò che otteniamo allungando la lettera s per riferirsi alla somma.
Riemann Integral
Considera una funzione y = ƒ (x). L'integrale di y tra aeb, dove aeb appartengono a un insieme x, è scritto come b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Questo è chiamato integrale definito della funzione a valore singolo e continua y = ƒ (x) tra a e b. Questo dà l'area sotto la curva tra a e b. Questo è anche chiamato integrale di Riemann. L'integrale di Riemann è stato creato da Bernhard Riemann. L'integrale di Riemann di una funzione continua si basa sulla misura di Jordan, pertanto è anche definito come il limite delle somme di Riemann della funzione. Per una funzione a valori reali definita su un intervallo chiuso, l'integrale di Riemann della funzione rispetto a una partizione x 1, x 2,…, x ndefinito sull'intervallo [a, b] et 1, t 2,…, t n, dove x i ≤ t i ≤ x i + 1 per ogni i ε {1, 2,…, n}, la somma di Riemann è definita come Σ i = o an-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgue Integral
Lebesgue è un altro tipo di integrale, che copre un'ampia varietà di casi rispetto all'integrale di Riemann. L'integrale di lebesgue fu introdotto da Henri Lebesgue nel 1902. L'integrazione di Legesgue può essere considerata una generalizzazione dell'integrazione di Riemann.
Perché dobbiamo studiare un altro integrale?
Consideriamo la funzione caratteristica ƒ A (x) = { 0 se, x non ε A 1 se, x ε A su un insieme A. Allora combinazione lineare finita di funzioni caratteristiche, che è definita come F (x) = Σ a i ƒ E i (x) è chiamata funzione semplice se E i è misurabile per ogni i. L'integrale di Lebesgue di F (x) su E è indicato con E ∫ ƒ (x) dx. La funzione F (x) non è integrabile con Riemann. L'integrale di Lebesgue è quindi l'integrale di Riemann riformulato, che ha alcune limitazioni sulle funzioni da integrare.
Qual è la differenza tra Riemann Integral e Lebesgue Integral?
· L'integrale di Lebesgue è una forma di generalizzazione dell'integrale di Riemann.
· L'integrale di Lebesgue consente un'infinità numerabile di discontinuità, mentre l'integrale di Riemann consente un numero finito di discontinuità.
