Funzione discreta vs funzione continua
Le funzioni sono una delle classi più importanti di oggetti matematici, che sono ampiamente utilizzate in quasi tutti i sottocampi della matematica. Come suggeriscono i loro nomi, sia le funzioni discrete che le funzioni continue sono due tipi speciali di funzioni.
Una funzione è una relazione tra due insiemi definiti in modo tale che per ogni elemento nel primo insieme, il valore che gli corrisponde nel secondo insieme sia unico. Sia f una funzione definita dall'insieme A nell'insieme B. Quindi per ogni x ϵ A, il simbolo f (x) indica il valore univoco nell'insieme B che corrisponde a x. Si chiama immagine di x sotto f. Pertanto, una relazione f da A a B è una funzione, se e solo se per, ogni xϵ A e y ϵ A; se x = y allora f (x) = f (y). L'insieme A è chiamato il dominio della funzione f, ed è l'insieme in cui è definita la funzione.
Ad esempio, si consideri la relazione f da R in R definita da f (x) = x + 2 per ogni xϵ A. Questa è una funzione il cui dominio è R, poiché per ogni numero reale x e y, x = y implica f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Ma la relazione g da N a N definita da g (x) = a, dove 'a' è un fattore primo di x non è una funzione come g (6) = 3, così come g (6) = 2.
Cos'è una funzione discreta?
Una funzione discreta è una funzione il cui dominio è al massimo numerabile. Semplicemente, questo significa che è possibile creare un elenco che includa tutti gli elementi del dominio.
Qualsiasi insieme finito è al massimo numerabile. L'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri razionali sono esempi per gli insiemi infiniti al massimo numerabili. L'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri irrazionali non sono al massimo numerabili. Entrambi i set sono innumerevoli. Significa che è impossibile creare un elenco che includa tutti gli elementi di quei set.
Una delle funzioni discrete più comuni è la funzione fattoriale. f: NU {0} → N definito ricorsivamente da f (n) = nf (n-1) per ogni n ≥ 1 e f (0) = 1 è chiamata funzione fattoriale. Osserva che il suo dominio NU {0} è al massimo numerabile.
Cos'è una funzione continua?
Sia f una funzione tale che per ogni k nel dominio di f, f (x) → f (k) per x → k. Allora f è una funzione continua. Ciò significa che è possibile rendere f (x) arbitrariamente vicino af (k) rendendo x sufficientemente vicino a k per ogni k nel dominio di f.
Considera la funzione f (x) = x + 2 su R. Si può vedere che per x → k, x + 2 → k + 2 che è f (x) → f (k). Pertanto, f è una funzione continua. Ora, considera g su numeri reali positivi g (x) = 1 se x> 0 eg (x) = 0 se x = 0. Allora, questa funzione non è una funzione continua poiché il limite di g (x) non esiste (e quindi non è uguale a g (0)) per x → 0.
Qual è la differenza tra funzione discreta e continua?
• Una funzione discreta è una funzione il cui dominio è al massimo numerabile, ma non è necessario che sia così nelle funzioni continue.
• Tutte le funzioni continue ƒ hanno la proprietà che ƒ (x) → ƒ (k) come x → k per ogni x e per ogni k nel dominio di ƒ, ma non è il caso in alcune funzioni discrete.
