Integrazione vs sommatoria
Nella matematica delle scuole superiori, l'integrazione e la sommatoria si trovano spesso nelle operazioni matematiche. Apparentemente sono usati come strumenti diversi e in situazioni diverse, ma condividono una relazione molto stretta.
Maggiori informazioni sulla somma
La somma è l'operazione di aggiunta di una sequenza di numeri e l'operazione è spesso indicata con la lettera greca maiuscola sigma Σ. Viene utilizzato per abbreviare la somma e uguale alla somma / totale della sequenza. Sono spesso usati per rappresentare le serie, che essenzialmente sono infinite sequenze riassunte. Possono anche essere usati per indicare la somma di vettori, matrici o polinomi.
La somma viene solitamente eseguita per un intervallo di valori che può essere rappresentato da un termine generale, ad esempio una serie che ha un termine comune. Il punto iniziale e il punto finale della sommatoria sono noti rispettivamente come limite inferiore e limite superiore della somma.
Ad esempio, la somma della sequenza a 1, a 2, a 3, a 4,…, a n è a 1 + a 2 + a 3 +… + a n che può essere facilmente rappresentata usando la notazione di sommatoria come ∑ n i = 1 a i; è chiamato indice di sommatoria.
Molte variazioni vengono utilizzate per la somma basata sull'applicazione. In alcuni casi, il limite superiore e il limite inferiore possono essere indicati come un intervallo o un intervallo, ad esempio ∑ 1≤i≤100 a i e ∑ i∈ [1,100] a i. Oppure può essere dato come un insieme di numeri come ∑ i∈P a i, dove P è un insieme definito.
In alcuni casi, possono essere utilizzati due o più segni sigma, ma possono essere generalizzati come segue; ∑ j ∑ k a jk = ∑ j, k a jk.
Inoltre, la sommatoria segue molte regole algebriche. Poiché l'operazione incorporata è l'aggiunta, molte delle regole comuni dell'algebra possono essere applicate alle somme stesse e ai singoli termini rappresentati dalla sommatoria.
Maggiori informazioni sull'integrazione
L'integrazione è definita come il processo inverso di differenziazione. Ma nella sua vista geometrica può anche essere considerata come l'area racchiusa dalla curva della funzione e dall'asse. Pertanto, il calcolo dell'area dà il valore di un integrale definito come mostrato nel diagramma.
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Il valore dell'integrale definito è in realtà la somma delle piccole strisce all'interno della curva e dell'asse. L'area di ogni striscia è l'altezza × larghezza nel punto sull'asse considerato. La larghezza è un valore che possiamo scegliere, diciamo ∆x. E l'altezza è approssimativamente il valore della funzione nel punto considerato, diciamo f (x i). Dal diagramma è evidente che più piccole sono le strisce, meglio le strisce si adattano all'area delimitata, quindi migliore approssimazione del valore.
Quindi, in generale, l'integrale definito I, tra i punti a e b (cioè nell'intervallo [a, b] dove a
Come generalizzazione dal concetto sopra, possiamo scegliere il ∆x in base all'intervallo considerato indicizzato da i (scegliendo l'ampiezza dell'area in base alla posizione). Allora otteniamo
Io = lim ∆x → 0 ∑ n io = 1 f (x i) ∆x io = a ∫ b f (x) dx
Questo è noto come Integrale di Reimann della funzione f (x) nell'intervallo [a, b]. In questo caso aeb sono noti come limite superiore e limite inferiore dell'integrale. L'integrale di Reimann è una forma base di tutti i metodi di integrazione.
In sostanza, l'integrazione è la somma dell'area quando la larghezza del rettangolo è infinitesimale.
Qual è la differenza tra integrazione e somma?
• La somma è la somma di una sequenza di numeri. Di solito, la sommatoria è data in questa forma ∑ n i = 1 a i quando i termini nella sequenza hanno uno schema e possono essere espressi usando un termine generale.
• L'integrazione è fondamentalmente l'area delimitata dalla curva della funzione, dall'asse e dai limiti superiore e inferiore. Quest'area può essere data come la somma di aree molto più piccole incluse nell'area delimitata.
• La somma coinvolge i valori discreti con i limiti superiore e inferiore, mentre l'integrazione implica valori continui.
• L'integrazione può essere interpretata come una forma speciale di sommatoria.
• Nei metodi di calcolo numerico, l'integrazione viene sempre eseguita come somma.
