Differenza Tra Integrazione E Somma

2024 Autore: Mildred Bawerman | [email protected]. Ultima modifica: 2023-12-16 08:39

Integrazione vs sommatoria

Nella matematica delle scuole superiori, l'integrazione e la sommatoria si trovano spesso nelle operazioni matematiche. Apparentemente sono usati come strumenti diversi e in situazioni diverse, ma condividono una relazione molto stretta.

Maggiori informazioni sulla somma

La somma è l'operazione di aggiunta di una sequenza di numeri e l'operazione è spesso indicata con la lettera greca maiuscola sigma Σ. Viene utilizzato per abbreviare la somma e uguale alla somma / totale della sequenza. Sono spesso usati per rappresentare le serie, che essenzialmente sono infinite sequenze riassunte. Possono anche essere usati per indicare la somma di vettori, matrici o polinomi.

La somma viene solitamente eseguita per un intervallo di valori che può essere rappresentato da un termine generale, ad esempio una serie che ha un termine comune. Il punto iniziale e il punto finale della sommatoria sono noti rispettivamente come limite inferiore e limite superiore della somma.

Ad esempio, la somma della sequenza a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n è a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n che può essere facilmente rappresentata usando la notazione di sommatoria come ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; è chiamato indice di sommatoria.

Molte variazioni vengono utilizzate per la somma basata sull'applicazione. In alcuni casi, il limite superiore e il limite inferiore possono essere indicati come un intervallo o un intervallo, ad esempio ∑ _1≤i≤100 a _i e ∑ _{i∈ [1,100]} a _i. Oppure può essere dato come un insieme di numeri come ∑ _i∈P a _i, dove P è un insieme definito.

In alcuni casi, possono essere utilizzati due o più segni sigma, ma possono essere generalizzati come segue; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Inoltre, la sommatoria segue molte regole algebriche. Poiché l'operazione incorporata è l'aggiunta, molte delle regole comuni dell'algebra possono essere applicate alle somme stesse e ai singoli termini rappresentati dalla sommatoria.

Maggiori informazioni sull'integrazione

L'integrazione è definita come il processo inverso di differenziazione. Ma nella sua vista geometrica può anche essere considerata come l'area racchiusa dalla curva della funzione e dall'asse. Pertanto, il calcolo dell'area dà il valore di un integrale definito come mostrato nel diagramma.

Fonte immagine:

Il valore dell'integrale definito è in realtà la somma delle piccole strisce all'interno della curva e dell'asse. L'area di ogni striscia è l'altezza × larghezza nel punto sull'asse considerato. La larghezza è un valore che possiamo scegliere, diciamo ∆x. E l'altezza è approssimativamente il valore della funzione nel punto considerato, diciamo f (x _i). Dal diagramma è evidente che più piccole sono le strisce, meglio le strisce si adattano all'area delimitata, quindi migliore approssimazione del valore.

Quindi, in generale, l'integrale definito I, tra i punti a e b (cioè nell'intervallo [a, b] dove a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, dove n è il numero di strisce (n = (ba) / ∆x). Questa somma dell'area può essere facilmente rappresentata usando la notazione di sommatoria come I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Poiché l'approssimazione è migliore quando ∆x è minore, possiamo calcolare il valore quando ∆x → 0. Pertanto, è ragionevole dire I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Come generalizzazione dal concetto sopra, possiamo scegliere il ∆x in base all'intervallo considerato indicizzato da i (scegliendo l'ampiezza dell'area in base alla posizione). Allora otteniamo

Io = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{io = 1} f (x _i) ∆x _io = _a ∫ ^b f (x) dx

Questo è noto come Integrale di Reimann della funzione f (x) nell'intervallo [a, b]. In questo caso aeb sono noti come limite superiore e limite inferiore dell'integrale. L'integrale di Reimann è una forma base di tutti i metodi di integrazione.

In sostanza, l'integrazione è la somma dell'area quando la larghezza del rettangolo è infinitesimale.

Qual è la differenza tra integrazione e somma?

• La somma è la somma di una sequenza di numeri. Di solito, la sommatoria è data in questa forma ∑ ⁿ _{i = 1} a _i quando i termini nella sequenza hanno uno schema e possono essere espressi usando un termine generale.

• L'integrazione è fondamentalmente l'area delimitata dalla curva della funzione, dall'asse e dai limiti superiore e inferiore. Quest'area può essere data come la somma di aree molto più piccole incluse nell'area delimitata.

• La somma coinvolge i valori discreti con i limiti superiore e inferiore, mentre l'integrazione implica valori continui.

• L'integrazione può essere interpretata come una forma speciale di sommatoria.

• Nei metodi di calcolo numerico, l'integrazione viene sempre eseguita come somma.