Differenziazione vs Derivata
Nel calcolo differenziale, derivata e differenziazione sono strettamente correlate, ma molto diverse, e utilizzate per rappresentare due importanti concetti matematici legati alle funzioni.
Cos'è il derivato?
La derivata di una funzione misura la velocità con cui il valore della funzione cambia al variare del suo input. Nelle funzioni multivariabili, la modifica del valore della funzione dipende dalla direzione della modifica dei valori delle variabili indipendenti. Pertanto, in tali casi, viene scelta una direzione specifica e la funzione viene differenziata in quella particolare direzione. Quella derivata è chiamata derivata direzionale. I derivati parziali sono un tipo speciale di derivati direzionali.
La derivata di una funzione a valori vettoriali f può essere definita come il limite
ovunque esista finitamente. Come accennato prima, questo ci dà la velocità di aumento della funzione f lungo la direzione del vettore u. Nel caso di una funzione a valore singolo, ciò si riduce alla ben nota definizione di derivata,
Ad esempio,
è ovunque differenziabile e la derivata è uguale al limite
che è uguale a
. I derivati di funzioni come
esistono ovunque. Sono rispettivamente uguali alle funzioni
Questo è noto come il primo derivato. Di solito la derivata prima della funzione f è denotata da f (1). Ora usando questa notazione, è possibile definire derivate di ordine superiore.
è la derivata direzionale del secondo ordine, e denotando la derivata n- esima con f (n) per ogni n
,, definisce la derivata n- esima.
Cos'è la differenziazione?
La differenziazione è il processo per trovare la derivata di una funzione differenziabile. L'operatore D indicato con D rappresenta la differenziazione in alcuni contesti. Se x è la variabile indipendente, allora D ≡ d / dx. L'operatore D è un operatore lineare, cioè per qualsiasi due funzioni differenziabili f e g e costante c, valgono le seguenti proprietà.
I. D (f + g) = D (f) + D (g)
II. D (cf) = cD (f)
Utilizzando l'operatore D, le altre regole associate alla differenziazione possono essere espresse come segue. D (fg) = D (f) g + f D (g), D (f / g) = [D (f) g - f D (g)] / g 2 e D (nebbia) = (D (f) og) D (g).
Ad esempio, quando F (x) = x 2 sin x è differenziato rispetto a x utilizzando le regole fornite, la risposta sarà 2 x sin x + x 2 cos x.
Qual è la differenza tra differenziazione e derivata?
• Derivato si riferisce a un tasso di variazione di una funzione
• La differenziazione è il processo per trovare la derivata di una funzione.
