Derivata vs differenziale
Nel calcolo differenziale, la derivata e il differenziale di una funzione sono strettamente correlati ma hanno significati molto diversi e utilizzati per rappresentare due importanti oggetti matematici relativi a funzioni differenziabili.
Cos'è il derivato?
La derivata di una funzione misura la velocità con cui il valore della funzione cambia al variare del suo input. Nelle funzioni multivariabili, la modifica del valore della funzione dipende dalla direzione della modifica dei valori delle variabili indipendenti. Pertanto, in tali casi, viene scelta una direzione specifica e la funzione viene differenziata in quella particolare direzione. Quella derivata è chiamata derivata direzionale. I derivati parziali sono un tipo speciale di derivati direzionali.
La derivata di una funzione a valori vettoriali f può essere definita come il limite
ovunque esista finitamente. Come accennato prima, questo ci dà la velocità di aumento della funzione f lungo la direzione del vettore u. Nel caso di una funzione a valore singolo, ciò si riduce alla ben nota definizione di derivata,
Ad esempio,
è ovunque differenziabile e la derivata è uguale al limite
che è uguale a
. I derivati di funzioni come
esistono ovunque. Sono rispettivamente uguali alle funzioni
Questo è noto come il primo derivato. Di solito la derivata prima della funzione f è denotata da f (1). Ora usando questa notazione, è possibile definire derivate di ordine superiore.
è la derivata direzionale del secondo ordine, e denotando la derivata n- esima con f (n) per ogni n
,, definisce la derivata n- esima.
Cos'è il differenziale?
Il differenziale di una funzione rappresenta il cambiamento nella funzione rispetto ai cambiamenti nella variabile o nelle variabili indipendenti. Nella consueta notazione, per una data funzione f di una singola variabile x, il differenziale totale di ordine 1 df è data da,
. Ciò significa che per una variazione infinitesimale in x (cioè dx), ci sarà una variazione af (1) (x) dx in f.
Usando i limiti si può finire con questa definizione come segue. Supponiamo che ∆ x sia la variazione di x in un punto arbitrario x e ∆ f sia la variazione corrispondente nella funzione f. Si può dimostrare che ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, dove ϵ è l'errore. Ora, il limite ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (usando la definizione di derivata precedentemente indicata) e quindi, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Pertanto, è possibile concludere che, ∆ x → 0 ϵ = 0. Ora, denotando ∆ x → 0 ∆ f come df e ∆ x → 0 ∆ x come dx la definizione del differenziale è rigorosamente ottenuta.
Ad esempio, il differenziale della funzione
è
Nel caso di funzioni di due o più variabili, il differenziale totale di una funzione è definito come la somma dei differenziali nelle direzioni di ciascuna delle variabili indipendenti. Matematicamente, si può affermare come
Qual è la differenza tra derivata e differenziale?
• Derivato si riferisce a un tasso di variazione di una funzione mentre il differenziale si riferisce al cambiamento effettivo della funzione, quando la variabile indipendente è soggetta a cambiamento.
• La derivata è data da
ma il differenziale è dato da
