Serie Power vs Serie Taylor
In matematica, una sequenza reale è un elenco ordinato di numeri reali. Formalmente, è una funzione dall'insieme dei numeri naturali all'insieme dei numeri reali. Se n è il n esimo termine di una successione, indichiamo la sequenza o da un 1, un 2, …, a n, ….per esempio, si consideri la sequenza 1, ½, ⅓, …, 1 / n, …. Può essere indicato come {1 / n}.
È possibile definire una serie utilizzando sequenze. Una serie è la somma dei termini di una sequenza. Pertanto, per ogni sequenza, esiste una sequenza associata e viceversa. Se {a n} è la sequenza in esame, allora, la serie formata da quella sequenza può essere rappresentata come:
Pertanto, nell'esempio di cui sopra, la serie associata è 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Come suggeriscono i nomi, la serie di potenze è un tipo speciale di serie ed è ampiamente utilizzata nell'analisi numerica e nella modellazione matematica correlata. La serie di Taylor è una serie di potenze speciale che fornisce un modo alternativo e facile da manipolare per rappresentare funzioni ben note.
Cos'è la serie Power?
Una serie di potenze è una serie della forma
che è convergente (possibilmente) per qualche intervallo centrato in c. I coefficienti a n possono essere numeri reali o complessi ed è indipendente da x; cioè la variabile fittizia.
Ad esempio, impostando a n = 1 per ogni n ec = 0, si ottiene la serie di potenze 1 + x + x 2 +….. + x n +…. È facile osservare che quando x ε (-1,1), questa serie di potenze converge a 1 / (1-x).
Una serie di potenze converge quando x = c. Gli altri valori di x per i quali converge la serie di potenze assumeranno sempre la forma di un intervallo aperto centrato in c. Cioè, ci sarà un valore 0≤ R ≤ ∞ tale che per ogni x soddisfacente | xc | ≤ R, la serie di potenze è convergente e per ogni x soddisfacente | xc |> R, la serie di potenze è divergente. Questo valore R è chiamato raggio di convergenza della serie di potenze (R può assumere qualsiasi valore reale o infinito positivo).
Le serie di potenze possono essere aggiunte, sottratte, moltiplicate e divise utilizzando le seguenti regole. Considera le due serie di potenze:
Poi,
cioè termini simili vengono aggiunti o sottratti insieme. Inoltre, è possibile moltiplicare e dividere le due serie di potenze utilizzando l'identità,
Cos'è la serie Taylor?
La serie di Taylor è definita per una funzione f (x) infinitamente differenziabile su un intervallo. Supponiamo che f (x) sia differenziabile su un intervallo centrato in c. Quindi la serie di potenze data da
è chiamata espansione in serie di Taylor della funzione f (x) intorno a c. (Qui f (n) (c) denota la derivata n- esima in x = c). Nell'analisi numerica, un numero finito di termini in questa espansione infinita viene utilizzato per calcolare i valori nei punti in cui la serie è convergente alla funzione originale.
Una funzione f (x) si dice analitica nell'intervallo (a, b), se per ogni x ε (a, b), la serie di Taylor di f (x) converge alla funzione f (x). Ad esempio, 1 / (1-x) è analitica su (-1,1), poiché la sua espansione di Taylor 1 + x + x 2 +….. + x n +… converge alla funzione su quell'intervallo ed e x è analitica ovunque, poiché la serie di Taylor di e x converge a e x per ogni numero reale x.
Qual è la differenza tra la serie Power e la serie Taylor?
1. La serie di Taylor è una classe speciale di serie di potenze definita solo per funzioni che sono infinitamente differenziabili in un intervallo aperto.
2. La serie Taylor assume la forma speciale
mentre una serie di potenze può essere qualsiasi serie della forma
