Logaritmico vs esponenziale | Funzione esponenziale vs funzione logaritmica
Le funzioni sono una delle classi più importanti di oggetti matematici, che sono ampiamente utilizzate in quasi tutti i sottocampi della matematica. Come suggeriscono i loro nomi, sia la funzione esponenziale che la funzione logaritmica sono due funzioni speciali.
Una funzione è una relazione tra due insiemi definiti in modo tale che per ogni elemento nel primo insieme, il valore che gli corrisponde nel secondo insieme, sia unico. Sia ƒ una funzione definita dall'insieme A nell'insieme B. Quindi per ogni x ϵ A, il simbolo ƒ (x) indica il valore univoco nell'insieme B che corrisponde a x. Si chiama immagine di x sotto ƒ. Pertanto, una relazione ƒ da A a B è una funzione, se e solo se, per ogni x ϵ A e y ϵ A, se x = y allora ƒ (x) = ƒ (y). L'insieme A è chiamato dominio della funzione ƒ, ed è l'insieme in cui è definita la funzione.
Cos'è la funzione esponenziale?
La funzione esponenziale è la funzione data da ƒ (x) = e x, dove e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718…) ed è un numero irrazionale trascendentale. Una delle specialità della funzione è che la derivata della funzione è uguale a se stessa; cioè quando y = e x, dy / dx = e x. Inoltre, la funzione è una funzione crescente continua ovunque avente l'asse x come asintoto. Pertanto, anche la funzione è uno a uno. Per ogni x ϵ R, abbiamo che e x > 0, e si può dimostrare che è su R +. Inoltre, segue l'identità di base e x + y = e x.e y ed e 0= 1. La funzione può essere rappresentata anche utilizzando l'espansione in serie data da 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! + … + x n / n! + …
Cos'è la funzione logaritmica?
La funzione logaritmica è l'inversa della funzione esponenziale. Poiché la funzione esponenziale è uno a uno e su R +, una funzione g può essere definita dall'insieme di numeri reali positivi nell'insieme di numeri reali dato da g (y) = x, se e solo se, y = e x. Questa funzione g è chiamata funzione logaritmica o più comunemente logaritmo naturale. È indicato con g (x) = log e x = ln x. Poiché è l'inverso della funzione esponenziale, se prendiamo il riflesso del grafico della funzione esponenziale sulla linea y = x, avremo il grafico della funzione logaritmica. Pertanto, la funzione è asintotica rispetto all'asse y.
La funzione logaritmica segue alcune regole di base tra cui ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y e ln xy = y ln x sono le più importanti. Anche questa è una funzione crescente ed è continua ovunque. Pertanto, è anche uno a uno. Si può dimostrare che è su R.
Qual è la differenza tra funzione esponenziale e funzione logaritmica?
• La funzione esponenziale è data da ƒ (x) = e x, mentre la funzione logaritmica è data da g (x) = ln x, e la prima è l'inverso della seconda.
• Il dominio della funzione esponenziale è un insieme di numeri reali, ma il dominio della funzione logaritmica è un insieme di numeri reali positivi.
• L'intervallo della funzione esponenziale è un insieme di numeri reali positivi, ma l'intervallo della funzione logaritmica è un insieme di numeri reali.
